Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann.

Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.

Hình học Euclid

Hình học Euclid dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh hệ thống các tiên đề sau:

* Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó.
* Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.
* Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.
* Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung nữa.
* Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song)

Lưu ý, các tiên đề Euclid ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng.
Hình học Lobachevsky

Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic.

Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó.

Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó.
Hình học Elliptic do nhà toán học Riemann khởi xướng

Trong hình học Hyperbolic, tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180°


Trên hình học mặt cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn hơn 180°